Campana de Gauss
Durante la historia de la estadística se han desarrollado diversas herramientas, conceptos e ideas que han permitido que esta importante disciplina y, en especial, el análisis de probabilidades, avancen y, en consecuencia, una gran cantidad de ciencias. Sin embargo, uno de los hitos más relevantes, en este contexto, es el descubrimiento de la distribución normal y, junto a ella, el desarrollo de la campana de Gauss.
La campana de Gauss es ampliamente utilizada en diferentes campos de estudio, debido a la información que brinda al momento de realizar un análisis estadístico completo de un conjunto de datos. En este artículo, te explicaremos de qué se trata este concepto, cuál es su utilidad y cómo aplicarlo en tus investigaciones.
¿Qué es la campana de Gauss?
La campana de Gauss es un gráfico estadístico que representa, visualmente, la distribución normal de una variable estadística, es decir, la probabilidad de que un conjunto de eventos ocurra respecto a los demás.
Se trata de una función, desarrollada por Carl Friedrich Gauss, cuya forma se asemeja a una campana. En el centro de la misma, se encuentra la media o promedio de los datos estadísticos, la cual se encuentra en el eje x. Así, a medida que los valores se alejan de este punto la curva desciende a ambos lados, describiendo la mencionada campana.
Lo anterior quiere decir que la media equivale al dato con mayor probabilidad y, a su vez, el más frecuente de todos. Por otro lado, a medida que los demás se van alejando de dicho valor, tienen una menor probabilidad de ocurrir así como una menor frecuencia.
La función, o fórmula, conocida como función gaussiana, que describe el comportamiento de la distribución normal es:
Donde:
- σ: es la desviación estándar.
- 𝝁: es la media.
Características de la campana de Gauss
- Se trata de una curva de forma acampanada cuyo punto mayor es la distribución normal de la media.
- En realidad, es un histograma, cuyo comportamiento se describe mediante la función gaussiana, a partir de la cual se puede graficar la curva.
- Describe la tendencia de un conjunto de datos.
- Representa comportamientos que suceden, naturalmente, en la realidad. Así, no solo es una representación matemática de un fenómeno, sino que, realmente, gráfica dicho fenómeno.
- Indica que el valor de la media siempre será el resultado más probable para una variable especificada.
Para qué se utiliza la campana de Gauss
La campana de Gauss es uno de los gráficos más importantes en el ámbito profesional y académico, no solo por sus fundamentos matemáticos, sino por la gran utilidad que brinda a las diferentes ciencias en sus investigaciones. A continuación, veremos algunas de sus aplicaciones.
Aplicaciones de la campana de Gauss en la estadística
En estadística descriptiva e inferencial, se utiliza ampliamente para la representación y cálculo de probabilidades, en especial, de datos relacionados a variables continuas. Es por esto que este tipo de gráfico permite realizar un análisis riguroso de:
- Frecuencias.
- Tendencias.
- Varianza y dispersión.
Aplicaciones de la campana de Gauss en la ciencia
Una de las particularidades de la campana de Gauss es que representa, con gran precisión, el comportamiento real de los objetos que conforman un campo de estudio. Incluso, se puede decir que determina, matemáticamente, la manera en que un conjunto de elementos se comportará en el futuro. Es por esta razón que se utiliza en diversas disciplinas, entre las cuales se pueden mencionar:
- Sociología: es común que en esta rama del conocimiento se evalúe, a través de una campana de Gauss, el comportamiento de las personas. Así, se puede observar, gráficamente, como gran parte de la sociedad se comporta de una manera específica, mientras que, con menos frecuencia, sucede que un grupo de personas se alejan de dicha conducta.
- Control de calidad: en los procesos de producción, se establecen medidas específicas para las piezas que se fabrican. Por lo tanto, mediante una campana de Gauss se puede analizar la probabilidad de que un producto se aleje de dicho objetivo y si la mayoría tienden al mismo.
- Meteorología: la frecuencia y probabilidad de que exista una variación en el clima de una zona específica se puede visualizar mediante este gráfico.
Ventajas y limitaciones de la campana de Gauss
Las ventajas
- Su interpretación es sencilla e intuitiva, y no requiere de demasiados cálculos matemáticos.
- Facilita la realización de proyecciones respecto al hecho de que ocurra un evento o no.
- Se puede graficar fácilmente mediante diversos softwares e, incluso, manualmente.
- Las probabilidades se pueden analizar más fácilmente mediante un análisis del gráfico e, incluso, de intervalos específicos de eventos.
- Permite observar la tendencia de un conjunto de datos, garantizando que las inferencias que se hagan sobre el mismo sean confiables.
Las limitaciones
- La campana de Gauss representa, de manera eficaz, la distribución normal de variables continuas o variables discretas. Sin embargo, no es posible analizar, bajo este mismo método, los datos estadísticos relacionados a variables cualitativas.
- Si no se tiene una tabla de distribución normal estandarizada o tabla z a mano, el cálculo del área bajo la curva puede ser difícil de realizar, pues será necesario aplicar integrales definidas de la función. Esto se explicará en el penúltimo apartado del artículo.
Ejemplo de campana de Gauss
En una fábrica se lleva a cabo la producción de piezas para el desarrollo de diversos dispositivos electrónicos y, como parte del control de calidad de dicho proceso, se realizó un análisis de una muestra de las piezas manufacturadas con el fin de evaluar la variabilidad de sus volúmenes. Los resultados fueron los siguientes:
| 2,40 | 2,51 | 2,49 | 2,44 | 2,47 |
| 2,70 | 2,60 | 2,50 | 2,49 | 2,52 |
| 2,53 | 2,30 | 2,80 | 2,48 | 2,50 |
Donde:
- 𝝁: 2,52.
- σ: 0,12.
El objetivo del análisis es calcular la probabilidad de que los volúmenes que se encuentran en el intervalo entre 2.4 y 2.63 se presenten. Así, al realizar los respectivos cálculos, se obtuvo la siguiente campana de Gauss:
Respecto al control de calidad, te puede interesar visitar nuestro artículo de Gráficos de control.
¿Cómo hacer una campana de Gauss en Excel?
Microsoft Excel es uno de los programas informáticos más utilizados en el ámbito académico y profesional, debido a las múltiples herramientas que ofrece para la gestión y análisis de datos, así como la representación de los mismos a través de gráficos estadísticos. Por lo tanto, podrás crear una campana de Gauss rápidamente y solo tendrás que tener en cuenta las siguientes instrucciones:
- En primera instancia, debes organizar los datos en una tabla. Posteriormente, se tiene que calcular tanto la media como la desviación estándar de la información recopilada. Para ello, se pueden utilizar dos de las funciones estadísticas de Excel: la función PROMEDIO y la función DESVESTA. Veamos cómo aplicar cada una:
- Escribe en la barra de fórmulas la sintaxis de las función PROMEDIO, seleccionando el rango de celdas a promediar.
- Repite el proceso realizado en el anterior punto, esta vez, con la función DESVESTA.
- Una vez hecho lo anterior, establece el posible rango de valores en el que se encuentran los datos recopilados. En este caso, el menor y mayor de los volúmenes son 2.30 y 2.80 respectivamente. Por lo tanto, podemos escribir una serie de números con un incremento de 0.01 hasta alcanzar 2.8. A una mayor cantidad de datos, se obtiene una mayor precisión en la gráfica.
- Utiliza la función DISTR.NORM.N para calcular la distribución normal de los datos. Los argumentos a tener en cuenta son los siguientes:
- Primero, selecciona el segmento a evaluar.
- Posteriormente, selecciona la media. Para que este valor sea constante para los demás segmentos, solo presiona F4 una vez haya sido escrito en la función. Esto creará una referencia o valor absoluto de la celda.
- Selecciona la desviación estándar y repite el paso anterior.
- Por último, escribe FALSO en el último espacio.
Finalmente, repite el proceso para los demás segmentos haciendo click sobre el vértice derecho inferior de la celda, donde se obtuvo el resultado, y arrastrando hasta el último de los valores.
- Para graficar la campana de Gauss, selecciona el rango de distribuciones normales, así como de los segmentos, dirígete, en la barra de herramientas, hacia la pestaña Insertar y escoge un gráfico de dispersión con líneas suavizadas y marcadores.
- En este caso, debido a que el menor de los datos es 2.3, se producirá un espacio entre 0 y el valor mencionado. Para solucionar esto, solo debes hacer doble click sobre las etiquetas del eje x y, en el menú de la derecha, modifica los valores de los límites mínimos y máximos con los recopilados en nuestra tabla.
- Para colorear el área bajo la curva, haz click derecho sobre el gráfico y selecciona la opción Cambiar tipo de gráfico.
En la nueva ventana, dirígete a la sección Área, escoge el primer gráfico y oprime el botón Aceptar.
¿Cómo se interpretan los resultados de una campana de Gauss?
Al realizar una campana de Gauss, se pueden observar ciertos datos de interés para una investigación, por lo que es importante reconocerlos y saberlos interpretar. A continuación, te mencionaremos algunos puntos a tener en cuenta:
- El límite superior o máximo, es decir, el punto más alto al que puede tender la curva es justo donde, en el eje x, se encuentra la media. A partir de este, la curva desciende hacia derecha e izquierda, siendo simétrica para ambos lados.
- El área bajo la curva de un intervalo es igual a la probabilidad de que los datos que se encuentran, en dicho intervalo, se presenten. Así, el área encerrada en el intervalo definido entre la media y más o menos tres veces la desviación estándar (+3σ) o (-3σ) es aproximadamente 0.5, es decir, 50%.
- El área encerrada bajo la curva entre el intervalo (-3σ, +3σ) es, aproximadamente, el 100%.
- La interpretación de la campana de Gauss depende, en gran medida, de una correcta aplicación de integrales, a través de las cuales se pueden calcular las respectivas áreas bajo la curva. Sin embargo, esto también se puede realizar mediante una tabla z.
Para utilizar la tabla z, primero se debe realizar el siguiente cálculo:
Una vez hecho esto, se busca el resultado en la tabla mencionada y el valor relacionado al mismo es el área bajo la curva.
Conclusiones y recomendaciones
Aunque existen una gran cantidad de tipos de gráficos, la campana de Gauss es, acaso, el más importante de todos, pues reúne todos los principios básicos de la estadística (como la distribución de frecuencias, el cálculo de probabilidades, medidas de tendencia central y un riguroso análisis matemático) y, por lo tanto, brinda una gran precisión en las inferencias y resultados de una investigación.
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